M.E.T.E.O.R.O.T.I.C.A: Sistema de Coordenadas, Vetores, Derivada de Vetores, Produto Escalar, Produto Cruzado, Divergente, Divergência e Convergência, Laplaciano

Sistema de Coordenadas, Vetores, Derivada de Vetores, Produto Escalar, Produto Cruzado, Divergente, Divergência e Convergência, Laplaciano

Sistema de Coordenadas

Um sistema de coordenadas dito Ortonormal é um sistema na qual as bases dos vetores estão mutualmente perpendiculares e estão em unidades de comprimento. Já o sistema de coordenadas Cartesianas é um sistema de coordenadas ortonormal onde as coordendas são linhas e não curvas. A unidade de bases dos vetores para o sistema de coordenadas são

os quais apontam para Leste, Norte e para cima, respectivamente.

Vetores

Os vetores têm magnitude (comprimento) e uma direção. Os vetores são denotados em negrito ou com uma seta em cima deles. A magnitude de um vetor é denotada por A ou por:

Os vetores são somados ligando a sua parte traseira com a sua parte dianteira, ou seja, do ponto inicial até a parte final (seta).

A adição de vetores é comutativa e associativa:

Os vetores podem ser multiplicados por escalares. A multiplicação escalar é associativa e distributiva:

Componentes dos Vetores

Um vetor pode ser escrito em termos de componentes ao longo dos eixos do sistema de coordenadas.

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Produto Escalar

O produto escalar de dois vetores é definido como:

onde θ é o ângulo entre os dois vetores. O resultado do produto escalar é um escalar e não um vetor. Na forma de componentes o produto escalar é:

Se dois vetores são normais, então o produto escalar é zero. O produto escalar é comutativo e distributivo.

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Produto Cruzado

O produto cruzado é definido como:

O resultado do produto cruzado é um vetor. Se dois vetores são paralelos um com o outro, então o produto cruzado deles é zero.

No sistema de coordenadas ortonormal, a forma de componentes do produto cruzado é encontrada fazendo o determinante de uma matriz cuja primeira linha é os vetores unitários ao longo dos eixos, e a segunda e terceira linha as componentes dos vetores:

O produto cruzado não é comutativo, é apenas distributivo:

Derivadas de Vetores

Um vetor função é um vetor cuja magnitude e direção depende de outro escalar (por exemplo, tempo). A derivada de uma vetor função é escrita em forma de componentes como:

As regras para a diferenciação de produto escalar e produto cruzado são análogas à regra de diferenciação escalar:

O Gradiente

O operador nabla/del em coordenadas cartesianas é definido como:

O operador del aplicado a um escalar leva a um vetor que aponta na direção de maior aumento (isto é, um vetor que é normal aos contornos e apontando em direção aos maiores valores).

Quando se aplica o operador del a um campo escalar, a ordem da unidade dos vetores e as derivadas parciais não importam. Isso é porque frequentemente vemos:

O primeiro termo do lado esquerdo da igualdade é chamado gradiente de a. O gradiente é um vetor que é normal aos contornos e aponta em direção aos maiores valores. Se o escalar é uniforme no espaço (isto é, tem o mesmo valor em todo lugar) então o gradiente é zero. O operador nabla ou del também pode ser aplicado a um vetor, o resultado é um tensor de segunda ordem. Quando se aplica o operador del a um vetor, é importante escrever a unidade dos vetores antes de cada termo:

Isso porque a ordem na qual os vetores estão diretamente multiplicados não é comutativa.

Divergência

Quando a divergência é negativa ela é chamada convergência.

O significado físico de divergência pode ser ilustrado conforme figura abaixo. Se o vetor está apontando para longe de um ponto, a divergência naquele ponto é positiva. Se o vetor está apontando para um ponto, a divergência naquele ponto é negativa.

Apenas a direção não pode ser sempre usada para determinar a divergência ou convergência. Os vetores podem estar apontando na mesma direção, e ainda ter divergência ou convergência.

Em muitos casos não podemos dizer apenas olhando se há divergência ou convergência. Por exemplo, na figura abaixo temos um caso onde poderíamos ter de calcular para determinar a divergência, pois não é óbvio apenas examinando a figura.

Rotacional

O rotacional de um vetor é definido como:

O rotacional é um vetor cujas componentes são encontradas através do produto cruzado do operador del com o vetor. Em coordenadas cartesianas a forma do rotacional é: