Exercícios resolvidos sobre Limites - Limites das funções Seno e Cosseno
Calcule os limites das funções contendo seno e cosseno:
Exercício 1:
Calcule o limite da função f(x) = sen(x) / x quando x se aproxima de 0.
Resolução:
Para calcular esse limite, podemos aplicar a propriedade fundamental dos limites trigonométricos, que afirma que o limite de sen(x) / x quando x se aproxima de 0 é igual a 1.
Portanto, o limite da função f(x) quando x se aproxima de 0 é igual a 1.
Exercício 2:
Encontre o limite da função g(x) = (cos(2x) - 1) / x quando x se aproxima de 0.
Resolução:
Podemos simplificar essa função utilizando a identidade trigonométrica cos(2x) = cos²(x) - sen²(x).
A função g(x) se torna:
g(x) = [(cos²(x) - sen²(x)) - 1] / x
= [cos²(x) - sen²(x) - 1] / x
Agora, podemos aplicar a propriedade fundamental dos limites trigonométricos e observar que a função se torna (1 - 0 - 1) / 0 = -1/0, o que representa uma forma indeterminada.
Para calcular esse limite mais precisamente, podemos utilizar técnicas avançadas, como a regra de L'Hôpital. Nesse caso, derivamos a função numerador e denominador:
g'(x) = [-2sen(x)cos(x)] / 1
= -2sen(x)cos(x)
Agora, podemos substituir x por 0 na derivada e obtemos:
g'(0) = -2sen(0)cos(0) = 0
Portanto, ao aplicarmos a regra de L'Hôpital, encontramos o limite de g(x) quando x se aproxima de 0 igual a 0.
Exercício 3:
Determine o limite da função h(x) = (sen(x) + cos(x)) / x quando x se aproxima de 0.
Resolução:
Podemos simplificar essa função reescrevendo-a como:
h(x) = sen(x) / x + cos(x) / x
Para o primeiro termo, podemos aplicar a propriedade fundamental dos limites trigonométricos e obtemos 1.
Para o segundo termo, também podemos aplicar a mesma propriedade e obtemos 0.
Portanto, o limite da função h(x) quando x se aproxima de 0 é igual a 1 + 0 = 1.
